Question

4．设抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线mx²+ny²=1（mn＜0）的一条渐近线的一个公共点M的坐标为（${\sqrt{p}$，y₀），若点M到抛物线的焦点距离为4，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或3
• D． 3

Answer 1

分析 利用抛物线的性质计算M到准线的距离，列方程解出p，得出M坐标，分情况讨论双曲线的渐近线得出m，n的关系，得出离心率．

解答 解：抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∴M（$\sqrt{p}$，y₀）到焦点的距离等于M到准线的距离$\sqrt{p}+\frac{p}{2}$，
∴$\sqrt{p}+\frac{p}{2}$=4，解得p=4．
∴抛物线方程为y²=8x，不妨设M在第一象限，则M（2，4）．
（1）若m＞0，n＜0，双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}-\frac{{y}^{2}}{-\frac{1}{n}}=1$，
双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=$\sqrt{-\frac{m}{n}}$x，
∴$2\sqrt{-\frac{m}{n}}$=4，即m=-4n，
∴e=$\frac{\sqrt{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}}{\sqrt{\frac{1}{m}}}$=$\sqrt{5}$．
（2）若m＜0，n＞0，双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}-\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}=1$．
双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=$\sqrt{-\frac{m}{n}}$x．
∴2$\sqrt{-\frac{m}{n}}$=4，即m=-4n．
∴e=$\frac{\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线、双曲线的简单性质，属于中档题．