Question

15．已知点A、B、C都在半径为$\sqrt{2}$的球面上，且AC⊥BC，∠ABC=30°，球心O到平面ABC的距离为1，点M是线段BC的中点，过点M作球O的截面，则截面面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{4}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\sqrt{3}π$
• D． 3π

Answer 1

分析 设△ABC的中心为O₁，连结O₁A．根据球的截面圆性质、通过勾股定理，而经过点M的球O的截面，当截面与OM垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．

解答 解：∵点A、B、C都在半径为$\sqrt{2}$的球面上，且AC⊥BC，∠ABC=30°，△ABC是直角三角形，AB的中点为O₁
∴O₁O⊥平面ABC，∵球的半径R=$\sqrt{2}$，球心O到平面ABC的距离为1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OA中，O₁A=$\sqrt{2-1}$=1．
又∵M为BC的中点，△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，∴BC=$\sqrt{3}$，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵过E作球O的截面，当截面与OM垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时可得截面面积为S=πr²=$\frac{3π}{4}$．
故选：C．

点评 本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．