Question

10．已知动圆经过定点D（1，0），且与直线x=-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C
（Ⅰ）求取曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点P（1，2）的直线l₁，l₂分别与曲线C交于A，B两点，直线l₁，l₂的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （I）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
（II）设l₁，l₂的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算k_AB．

解答 解：（I）∵动圆经过定点D（1，0），且与直线x=-1相切，
∴E到点D（1，0）的距离等于E到直线x=-1的距离，
∴E的轨迹是以D（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线．
∴曲线C的方程为y²=4x．
（II）设直线l₁方程为：y=k（x-1）+2，
∵直线l₁，l₂的斜率存在，且倾斜角互补，
∴l₂的方程为y=-k（x-1）+2．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²-（2k²-4k+4）x+（k-2）²=0，
设A（x₁，y₁），则x₁=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$．
同理可得x₂=$\frac{{k}^{2}+4k+4}{{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-8k}{{k}^{2}}$=$\frac{-8}{k}$．
∴y₁-y₂=[k（x₁-1）+2]-[-k（x₂-1）+2]=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{2{k}^{2}+8}{k}-2k=\frac{8}{k}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1．
∴直线AB的斜率为定值-1．

点评 本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．