Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线y=-x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x₀，y₀），使得直线PA，PB关于x=x₀对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；
（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P点，则k_PA+k_PB=0，代入斜率公式化简即可求出x₀，y₀．

解答 解：（I）设抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$．圆O的半径r=2，
由垂径定理得$\frac{{p}^{2}}{4}+（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}$=4，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（II）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$得y²+4y-4m=0，
∴△=16+16m＞0，解得m＞-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4m．
若抛物线上存在定点P（x₀，y₀），使得直线PA，PB关于x=x₀对称，
则k_PA+k_PB=0，
∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{1}}+\frac{4}{{y}_{0}+{y}_{2}}$=0，
∴y₀=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，x₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1．
∴存在点P（1，2），只要m＞-1，直线PA，PB关于直线x=1对称．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线的位置关系，属于中档题．