Question

8．已知函数f（x）对任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$且当x∈[0，1）时，f（x）=x+1，若函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4）上有2个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• B． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• D． （$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 将x换为x+1，可得函数f（x）（x∈[0，+∞））的周期为2，问题等价于f（x）图象与y=log_a（x+1）在区间[0，4）内有2个交点，数形结合可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵函数f（x）对任意x∈[0，+∞）
都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），
∴函数f（x）（x∈[0，+∞））的周期为2，
在区间[0，4）内函数g（x）=f（x）-log_a（x+1）有2个零点等价于y=f（x）图象与y=log_a（x+1）在区间[0，4）内有2个交点，
由当x∈[0，1）时，f（x）=x+1，
可得x+1∈[1，2）时，f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$=-$\frac{1}{x+1}$，
即有x∈[1，2）时，f（x）=-$\frac{1}{x}$，
作出y=f（x）在[0，4）的图象，以及y=log_a（x+1）的图象，
当y=log_a（x+1）的图象过A（3，-1），可得-1=log_a（3+1），
解得a=$\frac{1}{4}$；
当y=log_a（x+1）的图象过B（2，-$\frac{1}{2}$），可得-$\frac{1}{2}$=log_a（2+1），
解得a=$\frac{1}{9}$．
由图象可得，a的范围是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]．
故选：D．

点评 本题考查函数零点的判定，考查转化思想和运算能力，数形结合是解决问题的关键，属于中档题．