【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1: 的离心率为
,抛物线C2:x2=4y的焦点F是C1的一个顶点.
(I)求椭圆C1的方程;
(II)过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D,交抛物线C2于A,B两点,线段DF的中点为M,直线OM交椭圆C1于P,Q两点,记直线OM的斜率为k'.
(i)求证:kk'=﹣ ;
(ii)△PDF的面积为S1 , △QAB的面积为是S2 , 若S1S2=λk2 , 求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程.
【答案】解:(Ⅰ)∵椭圆C1: 的离心率为
,
抛物线C2:x2=4y的焦点F是C1的一个顶点.
∴ ,解得a=2,c=
,
∴椭圆C1的方程为 .
(Ⅱ)(i)证明:由题意设直线l的方程为y=kx+1,(k≠0),设点D(x0 , y0),
由 ,得(4k2+1)x2+8kx=0,
解得 ,
,∴D(
,
),M(
),
,∴kk′=﹣
.
(ii)解:由(i)知D( ,
),
又F(0,1),∴|DF|= =
,
由 ,得x2﹣4kx﹣4=0,
,
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则x1+x2=4k,
∴|AB|= ,
由 ,得(4k2+1)y2﹣1=0,
,
设P(x3 , y3),Q(﹣x3 , ﹣y3),
由题意得 ,
,
∴P(﹣ ),Q(
,﹣
),
∴点P到直线kx﹣y+1=0的距离为:
d1= =
,
点Q到直线kx﹣y+1=0的距离为:
d2= =
,
∴S1= |DF|d1=
=
,
S2= =
=
,
∴ =
=
≤
=
,
当且仅当3k2=k2+1,即k= 时,取等号,
∴λ的最大值为 ,此时直线l的方程为y=
.
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为 ,抛物线C2:x2=4y的焦点F是C1的一个顶点,列出方程组,求出a=2,b=1,由此能求出椭圆C1的方程.(Ⅱ)(i)由题意设直线l的方程为y=kx+1,(k≠0),由
,得(4k2+1)x2+8kx=0,由此求出D(
,
),M(
),由此能证明kk′=﹣
.
(ii)由D( ,
),F(0,1),得|DF|=
,由
,得x2﹣4kx﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出|AB|=4(k2+1),由
,得(4k2+1)y2﹣1=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,求出点P到直线kx﹣y+1=0的距离,点Q到直线kx﹣y+1=0的距离,由此能λ的最大值为
,此时直线l的方程为y=
.
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【题目】已知坐标平面上点与两个定点
,
的距离之比等于5.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段的长为 8,求直线
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线
的极坐标方程为
(1)当时,判断直线
与圆
的关系;
(2)当上有且只有一点到直线
的距离等于
时,求
上到直线
距离为
的点的坐标.
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【题目】已知向量 ,若f(x)=mn. (I)求f(x)的单调递增区间;
(II)己知△ABC的三内角A,B,C对边分别为a,b,c,且a=3,f ,sinC=2sinB,求A,c,b的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为:
(
为参数,
),以
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程
.
(1)①当时,写出直线
的普通方程;
②写出曲线的直角坐标方程;
(2)若点,设曲线
与直线
交于点
,求
最小值.
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【题目】已知集合A是函数y=lg(20﹣8x﹣x2)的定义域,集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0(a>0)的解集,p:x∈A,q:x∈B.
(1)若A∩B=,求实数a的取值范围;
(2)若¬p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入(单位:万元)满足
,乙城市收益Q与投入
(单位:万元)满足
,设甲城市的投入为
(单位:万元),两个城市的总收益为
(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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【题目】函数的一段图象如图5所示:将
的图像向右平移
个单位,可得到函数
的图象,且图像关于原点对称,
(1)求的值;
(2)求的最小值,并写出
的表达式;
(3)若关于的函数
在区间
上最小值为
,求实数
的取值范围.
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