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设函数f(x)=
2
x+2
,点A0表示原点,点An=[n,f(n)](n∈N*).若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夹角[其中
i
=(1,0)]
,设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则
lim
n→∞
Sn
=
3
4
2
3
4
2
分析:利用向量求和知识向量化简为=
.
A0
An
,利用向量夹角概念可得tanθn=
f(n)
n
=
2
n×(n+2)
,再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解.
解答:解:由向量求和知
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
=
.
A0
An

∵函数 f(x)=
2
x+2
,点A0表示原点,点An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
与向量
i
=(1,0)
的夹角,
∴tanθn=
f(n)
n
=
2
n×(n+2)
=
2
2
(
1
n
-
1
n+2
)

∴Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
2
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

lim
n→∞
Sn=
3
2
4

故答案为
3
4
2
点评:本题的考点是数列的极限,主要考查向量与极限结合的综合.涉及向量运算的多边形法则及向量夹角概念.考查数列求和的裂项相消方法及极限运算法则,有一定的综合性.
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