Question

设函数f(x)=

2

x+2

，点A₀表示原点，点A_n=[n，f（n）]（n∈N^*）．若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

与

i

的夹角[其中

i

=(1，0)]，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=

3

4

2

．

Answer 1

分析：利用向量求和知识向量化简为=

.

A0

An，利用向量夹角概念可得tanθn=

f(n)

n

=

2

n×(n+2)

，再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解．

解答：解：由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An
∵函数 f(x)=

2

x+2

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

与向量

i

=(1，0)的夹角，
∴tanθ_n=

f(n)

n

=

2

n×(n+2)

=

2

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

2

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
∴

lim

n→∞

Sn=

3 2

4

故答案为

3

4

2

．

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查向量与极限结合的综合．涉及向量运算的多边形法则及向量夹角概念．考查数列求和的裂项相消方法及极限运算法则，有一定的综合性．