Question

设函数f(x)=

2x+1

x2+2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，根据单调性的变换情况求出极值；
（Ⅱ）先求出f（x）的取值范围，求出f（x）的最值，因此对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是

-3≤- 1 2 a+b≤3 -3≤a+b≤3

，得到约束条件，由线性规划得a-b的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

，
当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在（-2，1）单调增加，在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少．
f（x）的极小值f(-2)=-

1

2

，极大值f（1）=1．
（Ⅱ）由(f(x)+

1

2

)(f(x)-1)=

-(x+2)2(x-1)2

2(x2+2)2

知(f(x)+

1

2

)(f(x)-1)≤0，
即-

1

2

≤f(x)≤1．
由此及（Ⅰ）知f（x）的最大值为1，最小值为-

1

2

．
因此对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是

-3≤- 1 2 a+b≤3 -3≤a+b≤3

即a，b满足约束条件

a+b≥-3 a+b≤3 - 1 2 a+b≥-3 - 1 2 a+b≤3.

，
由线性规划得，a-b的最大值为5．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和简单线性规划等有关知识，属于基础题．