Question

设函数f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)，区间M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（　　）

A．1个

B．3个

C．2个

D．0个

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)，我们易判断出函数的单调性及奇偶性，进而根据M=N成立时，f（a）=a且f（b）=b，解方程f(x)=

2x

|x|+1

=x，进而可由列举法，求出答案．

解答：解：∵函数f(x)=

2x

|x|+1

(x∈R)为奇函数，
且函数在R为增函数
若M=N成立
∴f（a）=a且f（b）=b
令f(x)=

2x

|x|+1

=x
解得x=0，或x=±1
故使M=N成立的实数对（a，b）有（-1，0），（-1，1），（0，1）三组
故选B

点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，函数的值域，函数单调性的应用，其中根据已知中函数的解析式求确定出函数的单调性，并由M=N成立得到f（a）=a且f（b）=b，是解答本题的关键．