Question

设a、b、c∈R₊，p∈R，求证：

abc(a^p+b^p+c^p)≥a^p+2(-a+b+c)+b^p+2(a-b+c)+c^p+2(a+b-c).

Answer 1

思路分析：由于a,b,c大小关系未知，证起来不方便，先设出大小关系，再作差整理，通过适当的放缩达到证明目的.

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边-右边=a^p+1(bc+a²-ab-ca)+b^p+1(ca+b²-bc-ab)+c^p+1(ab+c²-ca-bc)

=a^p+1(a-b)［(a-b)+(b-c)］-b^p+1(a-b)(b-c)+c^p+1［(a-b)+(b-c)］(b-c)

=a^p+1(a-b)(a-c)+(a-b)(b-c)(-b^p+1)+c^p+1(b-c)(a-c)

≥(a-b)(b-c)(a^p+1-b^p+1+c^p+1).

如果p+1≥0，那么a^p+1-b^p+1≥0；如果p+1＜0，那么c^p+1-b^p+1≥0，故有

(a-b)(b-c)(a^p+1-b^p+1+c^p+1≥0，从而原不等式得证.