Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3
（1）证明{a_n+3}是等比数列
（2）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，
（2）由（1）可以求出通项公式及前n项和S_n．

解答： 解：．∵a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a₁+3=1+3=4，
∴{a_n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得an+3=4•2n-1，
∴a₁+3=4，a₂+3=4•2，a₃+3=4×2²，
累加法，得
∴a₁+3+a₂+3+a₃+3+…+an+3=4•2n-1，
∴s_n+3n=2ⁿ⁺²-4，
∴Sn=2n+2-3n-4

点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，一般能够造成{a_n+x}型的等比数列，属常见题．