Question

已知函数f（x）=x|m-x|，若m＜0，判断其零点个数，并写出其单调性若f（4）=0，作出函数图象，并求集合M={n|使方程f（x）=n有三个不相等的实根}．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，函数f（x）=x|m-x|的零点个数即方程x|m-x|=0的解的个数，由图象写出单调区间，由f（4）=0可得m=4，从而作函数的图象及解集合．

解答： 解：函数f（x）=x|m-x|的零点个数即方程x|m-x|=0的解的个数，
∵m＜0，
∴方程x|m-x|=0的解为x=0或x=m；
故函数f（x）=x|m-x|有两个零点；
其在（-∞，m），（

m

2

，0）上是增函数，
在（m，

m

2

），（0，+∞）上是减函数；
由f（4）=0，得，m=4，
故f（x）=x|4-x|，
其图象如下，

则由图象可知，
M={n|使方程f（x）=n有三个不相等的实根}=（0，4）．

点评：本题综合考查了绝对值函数的应用，属于中档题．