Question

11．若关于x的不等式|ax-2|＜6的解集为{x|-$\frac{4}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$}
（1）求a的值；
（2）若b=1，求$\sqrt{-at+12}$+$\sqrt{3bt}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）依题意知-$\frac{4}{3}$和$\frac{8}{3}$是方程|ax-2|=6的两个根，由此可得方程，即可求a的值；
（2）利用柯西不等式，即可求$\sqrt{-at+12}$+$\sqrt{3bt}$的最大值．

解答 解：（1）依题意知-$\frac{4}{3}$和$\frac{8}{3}$是方程|ax-2|=6的两个根，则$\left\{\begin{array}{l}{|-\frac{4}{3}a-2|=6}\\{|\frac{8}{3}a-2|=6}\end{array}\right.$，∴a=3．
（2）$\sqrt{-3t+12}$+$\sqrt{3t}$≤$\sqrt{（1+1）（-3t+12+3t）}$=2$\sqrt{6}$，当且仅当$\sqrt{-3t+12}$=$\sqrt{3t}$，即t=2时等号成立．
∴$\sqrt{-at+12}$+$\sqrt{3bt}$的最大值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的运用，属于中档题．