Question

2．已知f（x）=ax³-xlnx，若?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立，则实数a的取值范围是$[\frac{e}{6}，+∞）$．

Answer 1

分析 ?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立?$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，即函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．可得f′（x）=3ax²-lnx-1≥0，在x∈（0，+∞）上恒成立．即3a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$=g（x），利用导数研究单调性极值与最值即可得出．

解答 解：?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，不等式（x₁²-x₂²）（f（x₁）-f（x₂））＞0恒成立，
?$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，?x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴f′（x）=3ax²-lnx-1≥0，在x∈（0，+∞）上恒成立．
即3a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$=g（x），
g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-2x（lnx+1）}{{x}^{4}}$=$\frac{-（1+2lnx）}{{x}^{3}}$．
可知：x=$\frac{1}{\;}\sqrt{e}$时，g（x）极大值即最大值，g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{e}{2}$．
∴3a≥$\frac{e}{2}$，解得a≥$\frac{e}{6}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{e}{6}，+∞）$．
故答案为：$[\frac{e}{6}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式与付出的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．