Question

17．若实数a、b、c∈R⁺，且ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，则2a+b+c的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}-1$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． $2\sqrt{5}+2$
• D． $2\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 因为（2a+b+c）²=4a²+b²+c²+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b²+c²≥2bc即可求出结果．

解答 解：∵ab+ac+bc+2$\sqrt{5}=6-{a^2}$，∴a²+ab+ac+bc=6-2$\sqrt{5}$
（6-2$\sqrt{5}$）×4=（a²+ab+ac+bc）×4=4a²+4ab+4ac+4bc≤4a²+4ab+b²+c²+4ca+2bc=（2a+b+c）²，
所以2a+b+c≥2$\sqrt{5}$-2，
故选D．

点评 本题考查柯西不等式，考查最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解答的关键是利用平方关系4a²+4ab+b²+c²+4ca+2bc=（2a+b+c）²建立条件与结论之间的联系．