Question

6．已知数列{a_n}中，设a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N^*），若b_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•a_n，T_n是{b_n}的前n项和，若不等式2ⁿλ＜2^n-1T_n+n对一切的n∈N₊恒成立，则实数λ的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 可设a_n+1+t=3（a_n+t），化简由条件可得t，运用等比数列的通项公式可得a_n，b_n，再由数列的求和方法：错位相减法，可得T_n，由题意可得不等式2ⁿλ＜2ⁿ⁺¹-2对一切的n∈N₊恒成立．即为λ＜2-（$\frac{1}{2}$）^n-1对一切的n∈N₊恒成立．判断不等式右边数列的单调性，求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：数列{a_n}中，设a₁=1，a_n+1=3a_n+1（n∈N^*），
可设a_n+1+t=3（a_n+t），即为a_n+1=3a_n+2t，
即有2t=1，即t=$\frac{1}{2}$．
则a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
则a_n+$\frac{1}{2}$=（a₁+$\frac{1}{2}$）•3^n-1，
可得a_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
则b_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•a_n=$\frac{n}{（{3}^{n}-1）•{2}^{n-2}}$•$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
T_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得T_n=4-（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
不等式2ⁿλ＜2^n-1T_n+n对一切的n∈N₊恒成立，
即有不等式2ⁿλ＜2ⁿ⁺¹-2对一切的n∈N₊恒成立．
即为λ＜2-（$\frac{1}{2}$）^n-1对一切的n∈N₊恒成立．
由2-（$\frac{1}{2}$）^n-1在n∈N₊递增，可得n=1时，取得最小值1，
则λ＜1．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用构造数列和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．