Question

9．已知${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展开式的常数项是540，则由曲线y=x²和y=x^a围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． $\frac{5}{12}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{13}{12}$

Answer 1

分析 首先由展开式的通项求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．

解答 解：由${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展开式的常数项是540，得到${C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{1}{ax}）^{r}=\frac{1}{{a}^{r}}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
所以r=3时取得常数项为$\frac{1}{{a}^{3}}{C}_{6}^{3}$=540，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以${∫}_{0}^{1}（{x}^{\frac{1}{3}}-{x}^{2}）dx$=（$\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{5}{12}$；
故选A．

点评 本题考查了二项式定理的应用以及利用定积分求曲边梯形的面积；正确由展开式的通项求出a，利用定积分表示面积是解答的关键．