Question

【题目】直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，M是侧棱上一点，设，用空间向量知识解答下列问题．

1若，证明：；

2若，求直线与平面ABM所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

1以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0即可证明C. 2当时，求平面ABM的法向量，利用向量法求出直线与平面ABM所成的角的正弦值．

证明：1直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，

，，，

M是侧棱上一点，设，，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

0，，2，，0，，2，，

2，，2，，

，C.

2当时，2，，0，，

0，，2，，

设平面ABM的法向量y，，

则，取，得1，，

设直线与平面ABM所成的角为，

则．

直线与平面ABM所成的角的正弦值为．