【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
【答案】(1) 当
时,
<0,
单调递减;当
时,
>0,
单调递增;(2)
.
【解析】
试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,从而判断函数
的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论.
试题解析:(Ⅰ)
<0,
在
内单调递减.
由
=0,有
.
此时,当
时,
<0,
单调递减;
当
时,
>0,
单调递增.
(Ⅱ)令=
,
=
.
则=
.
而当时,
>0,
所以在区间
内单调递增.
又由=0,有
>0,
从而当时,
>0.
当,
时,
=
.
故当>
在区间
内恒成立时,必有
.
当时,
>1.
由(Ⅰ)有,从而
,
所以此时>
在区间
内不恒成立.
当时,令
,
当时,
,
因此,在区间
单调递增.
又因为,所以当
时,
,即
恒成立.
综上,.
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【题目】下表是一个容量为20的样本数据分组后的频率分布表:
分组 | [8.5,11.5] | [11.5,14.5] | [14.5,17.5] | [17.5,20.5] |
频数 | 4 | 2 | 6 | 8 |
(I)若用组中值代替本组数据的平均数,请计算样本的平均数;
(II)以频率估计概率,若样本的容量为2000,求在分组[14.5,17.5)中的频数;
(Ⅲ)若从数据在分组[8.5,11.5)与分组[11.5,14.5)的样本中随机抽取2个,求恰有1个样本落在分组[11.5,14.5)的概率。
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【题目】已知各项均为正数的两个数列和{
}满足:an+1=
,n∈N*.
(1)设bn+1=1+,n∈N*,求证:数列
是等差数列;
(2)设bn+1=·
,n∈N*,且
是等比数列,求a1和b1的值.
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【题目】直三棱柱中,底面ABC为等腰直角三角形,
,
,
,M是侧棱
上一点,设
,用空间向量知识解答下列问题.
1
若
,证明:
;
2
若
,求直线
与平面ABM所成的角的正弦值.
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【题目】已知函数恰有3个零点,则实数
的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】,在
上单调递减.若
,则
在
上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故
.故需
当
时
,且
,使得第一段有一个零点,故
.对于第二段,
,故需
在区间
有两个零点,
,故
在
上递增,在
上递减,所以
,解得
.综上所述,
【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】设,
满足约束条件
,则
的最大值为_______.
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【题目】下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列,
的前n项和为
,则下列说法中正确的是( )
A.数列是递增数列B.数列
是递增数列
C.数列的最大项是
D.数列
的最大项是
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【题目】如图 所示,一条直角走廊宽为
,
(1)若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内,且,试求铁棒的长
;
(2)若一根铁棒能水平地通过此直角走廊,求此铁棒的最大长度;
(3)现有一辆转动灵活的平板车,其平板面是矩形,它的宽为
如图2.平板车若想顺利通过直角走廊,其长度
不能超过多少米?
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