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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .

    （Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；

    （ Ⅱ ） 设直线 与轴和轴的交点分别为，为圆上的任意一点，求的取值范围.

    【答案】(1);.

    (2).

    【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得两点的坐标, 设点，代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.

    【试题解析】

    （Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）.

    直线的直角坐标方程为.

    （Ⅱ）由直线的方程可得点，点.

    设点，则 .

    .

    由（Ⅰ）知，则 .

    因为，所以.

    【题型】解答题
    【结束】
    23

    【题目】选修4-5：不等式选讲

    已知函数， .

    （Ⅰ）若对于任意， 都满足，求的值；

    （Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

    【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

    【解析】【试题分析】(I) 因为， ，所以的图象关于对称.而的图象关于对称，所以，所以.(II)将原不等式等价变形为,将左边构造成函数,利用分类讨论法求得函数的最小值,由此求得的取值范围.

    【试题解析】

    （Ⅰ）因为， ，所以的图象关于对称.

    又的图象关于对称，所以，所以.

    （Ⅱ）等价于.

    设 ，

    则 .

    由题意，即.

    当时， ， ，所以；

    当时， ， ，所以，

    综上.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面是等腰梯形，且 ，其中 .

    （1）证明：平面 平面 .

    （2）求点 到平面 的距离。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知圆经过椭圆： 的两个焦点和两个顶点，点， ， 是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上， .

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）证明：直线过定点.

    【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.

    【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.

    【试题解析】

    （Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以， .从而，

    因此椭圆的方程为： .

    （Ⅱ）设直线的方程为.

    由，消去得.

    设， ，则， .

    直线的斜率 ；

    直线的斜率 .

    .

    由的平分线在轴上，得.又因为，所以，

    所以.

    因此，直线过定点.

    [点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断.（2）弦长、弦中点问题.（3）轨迹问题.（4）定值、最值及参数范围问题.（5）存在性问题.常用思想方法和技巧有：（1）设而不求.（2）坐标法.（3）根与系数关系.

    【题型】解答题
    【结束】
    21

    【题目】已知函数（，且）.

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）求函数在上的最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四棱锥中， 为等边三角形，且平面平面， ， ， .

    （Ⅰ）证明： ；

    （Ⅱ）若棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.

    【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

    【解析】【试题分析】(I) 取的中点为，连接，.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得,由此证得平面,故,故.(II) 可知是棱锥的高,利用体积公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得的值,进而求得面积.

    【试题解析】

    证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，

    ∵为等边三角形，∴.

    底面中，可得四边形为矩形，∴，

    ∵，∴平面，

    ∵平面，∴.

    又，所以.

    （Ⅱ）由面面，，

    ∴平面，所以为棱锥的高，

    由，知，

    ，

    ∴.

    由（Ⅰ）知，，∴.

    .

    由，可知平面，∴，

    因此.

    在中，，

    取的中点，连结，则，，

    ∴ .

    所以棱锥的侧面积为.

    【题型】解答题
    【结束】
    20

    【题目】已知圆经过椭圆： 的两个焦点和两个顶点，点， ， 是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上， .

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）证明：直线过定点.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数（，且）.

    （Ⅰ）求函数的单调区间；

    （Ⅱ）求函数在上的最大值.

    【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，单调减区间为.（Ⅱ）当时， ；当时， .

    【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.

    【试题解析】

    （Ⅰ），

    设 ，则.

    ∵， ，∴在上单调递增，

    从而得在上单调递增，又∵，

    ∴当时， ，当时， ，

    因此， 的单调增区间为，单调减区间为.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，

    由此可知.

    ∵， ，

    ∴.

    设，

    则 .

    ∵当时， ，∴在上单调递增.

    又∵，∴当时， ；当时， .

    ①当时， ，即，这时， ；

    ②当时， ，即，这时， .

    综上， 在上的最大值为：当时， ；

    当时， .

    [点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

    【题型】解答题
    【结束】
    22

    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系中，圆的普通方程为. 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .

    （Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；

    （ Ⅱ ） 设直线 与轴和轴的交点分别为，为圆上的任意一点，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】 据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．

    (1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；

    (2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；

    (3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知二次函数对任意的都有，且．

    （1）求函数的解析式；

    （2）设函数．

    ①若存在实数，，使得在区间上为单调函数，且取值范围也为，求的取值范围；

    ②若函数的零点都是函数的零点，求的所有零点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在某服装商场，当某一季节即将来临时，季节性服装的价格呈现上升趋势．设一种服装原定价为每件70元，并且每周(7天)每件涨价6元，5周后开始保持每件100元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周每件降价6元，直到16周末，该服装不再销售．

    (1)试建立每件的销售价格(单位：元)与周次之间的函数解析式；

    (2)若此服装每件每周进价(单位：元)与周次之间的关系为，，试问该服装第几周的每件销售利润最大？(每件销售利润＝每件销售价格－每件进价)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数且点在函数的图象上．

    （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；

    （2）求不等式的解集；

    （3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

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