【题目】已知圆
经过椭圆
： 
的两个焦点和两个顶点，点
， 
， 
是椭圆
上的两点，它们在
轴两侧，且
的平分线在
轴上， 
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）证明：直线
过定点.
【答案】（Ⅰ）
.（Ⅱ）直线
过定点
.
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 
,故
,由此求得椭圆方程.(II)设出直线
的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出
的斜率并相加,由此求得直线
过定点
.
【试题解析】
（Ⅰ）圆
与
轴交点
即为椭圆的焦点，圆
与
轴交点
即为椭圆的上下两顶点，所以
， 
.从而
，
因此椭圆
的方程为： 
.
（Ⅱ）设直线
的方程为
.
由
，消去
得
.
设
， 
，则
， 
.
直线
的斜率
；
直线
的斜率
.
.
由
的平分线在
轴上，得
.又因为
，所以
，
所以
.
因此，直线
过定点
.
[点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断.（2）弦长、弦中点问题.（3）轨迹问题.（4）定值、最值及参数范围问题.（5）存在性问题.常用思想方法和技巧有：（1）设而不求.（2）坐标法.（3）根与系数关系.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数
（
，且
）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的单调增区间为
，单调减区间为
.（Ⅱ）当
时， 
；当
时， 
.
【解析】【试题分析】(I)利用
的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
（Ⅰ）
，
设
，则
.
∵
， 
，∴
在
上单调递增，
从而得
在
上单调递增，又∵
，
∴当
时， 
，当
时， 
，
因此， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
设
，
则
.
∵当
时， 
，∴
在
上单调递增.
又∵
，∴当
时， 
；当
时， 
.
①当
时， 
，即
，这时， 
；
②当
时， 
，即
，这时， 
.
综上， 
在
上的最大值为：当
时， 
；
当
时， 
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与
轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
，其离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆被直线
截得的弦长等于
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设
为椭圆的左顶点，过点的直线
与椭圆的另一个交点为
，与
轴相交于点
，过原点与平行的直线与椭圆相交于
两点，问是否存在常数
，使
恒成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
， 
满足约束条件
，则
的最大值为_______．
【答案】4
【解析】
,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点
处取得最大值为
.
[点睛]本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算. 画二元一次不等式
或
表示的平面区域的基本步骤：①画出直线
（有等号画实线，无等号画虚线）；②当
时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当
时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.
【题型】填空题
【结束】
14
【题目】已知数列
的前
项和公式为
，若
，则数列
的前
项和
__________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点
，
，点
为曲线
上任意一点且满足
.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与
轴交于
、
两点，点
是曲线上异于、的任意一点，直线
、
分别交直线
于点
、
.试问在轴上是否存在一个定点
，使得
？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
（
，且
）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的单调增区间为
，单调减区间为
.（Ⅱ）当
时， 
；当
时， 
.
【解析】【试题分析】(I)利用
的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
（Ⅰ）
，
设
，则
.
∵
， 
，∴
在
上单调递增，
从而得
在
上单调递增，又∵
，
∴当
时， 
，当
时， 
，
因此， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
设
，
则
.
∵当
时， 
，∴
在
上单调递增.
又∵
，∴当
时， 
；当
时， 
.
①当
时， 
，即
，这时， 
；
②当
时， 
，即
，这时， 
.
综上， 
在
上的最大值为：当
时， 
；
当
时， 
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与
轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；
（ Ⅱ ） 设直线 与轴和
轴的交点分别为
，
为圆上的任意一点，求
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；
（ Ⅱ ） 设直线 与轴和
轴的交点分别为
，
为圆上的任意一点，求
的取值范围.
【答案】(1)
;
.
(2)
.
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得
两点的坐标, 设点
，代入向量,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
（Ⅰ）圆的参数方程为
（
为参数）.
直线的直角坐标方程为
.
（Ⅱ）由直线
的方程可得点
，点
.
设点，则 
.
.
由（Ⅰ）知，则 
.
因为
，所以
.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】选修4-5：不等式选讲
已知函数
， 
.
（Ⅰ）若对于任意
， 
都满足
，求
的值；
（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数： 
,其中
是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润)
(1)将利润
表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？
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