【题目】已知椭圆:
,其离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆被直线
截得的弦长等于
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆
的左顶点,过点
的直线
与椭圆的另一个交点为
,与
轴相交于点
,过原点与
平行的直线与椭圆相交于
两点,问是否存在常数
,使
恒成立?若存在,求出
;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知几何体,其中四边形
为直角梯形,四边形
为矩形,
,且
,
.
(1)试判断线段上是否存在一点
,使得
平面
,请说明理由;
(2)若,求该几何体的表面积.
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【题目】已知椭圆方程为,射线
与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
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【题目】为了解高一学生暑假里在家读书情况,特随机调查了50名男生和50名女生平均每天的阅读时间(单位:分钟),统计如下表:
(1)根据统计表判断男生和女生谁的平均读书时间更长?并说明理由;
(2)求100名学生每天读书时间的平均数,并将每天平均时间超过和不超过平均数的人数填入下列的列联表:
(3)根据(2)中列联表,能否有99%的把握认为“平均阅读时间超过或不超过平均数是否与性别有关?”
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求
),每小时可获得利润是
元.
(1)要使生产该产品小时获得的利润不低于
元,求
的取值范围;
(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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【题目】某运动员每次射击命中不低于8环的概率为,命中8环以下的概率为
,现用随机模拟的方法估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环,6、7、8、9表示命中8环以下,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,产生了如下20组随机数:
据此估计,该运动员三次射击中有两次命中不低于8环,一次命中8环以下的概率为( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知圆经过椭圆
:
的两个焦点和两个顶点,点
,
,
是椭圆
上的两点,它们在
轴两侧,且
的平分线在
轴上,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:直线过定点.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)直线
过定点
.
【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故
,由此求得椭圆方程.(II)设出直线
的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出
的斜率并相加,由此求得直线
过定点
.
【试题解析】
(Ⅰ)圆与
轴交点
即为椭圆的焦点,圆
与
轴交点
即为椭圆的上下两顶点,所以
,
.从而
,
因此椭圆的方程为:
.
(Ⅱ)设直线的方程为
.
由,消去
得
.
设,
,则
,
.
直线的斜率
;
直线的斜率
.
.
由的平分线在
轴上,得
.又因为
,所以
,
所以.
因此,直线过定点
.
[点睛]本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有:(1)位置关系的判断.(2)弦长、弦中点问题.(3)轨迹问题.(4)定值、最值及参数范围问题.(5)存在性问题.常用思想方法和技巧有:(1)设而不求.(2)坐标法.(3)根与系数关系.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
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【题目】已知二次函数对任意的
都有
,且
.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数.
①若存在实数,
,使得
在区间
上为单调函数,且
取值范围也为
,求
的取值范围;
②若函数的零点都是函数
的零点,求
的所有零点.
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