Question

【题目】已知二次函数对任意的都有，且．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数．

①若存在实数，，使得在区间上为单调函数，且取值范围也为，求的取值范围；

②若函数的零点都是函数的零点，求的所有零点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②见详解.

【解析】

（1）先设二次函数的解析式为，根据题意列出系数对应的方程组，求解，即可得出结果；

（2）①由（1）可得:，对称轴，由函数在区间上单调，得到或，分别研究和两种情况，结合题中条件，以及二次函数性质，即可得出结果；

②先设为的零点，由题意得到，即，求出或，分别研究和两种情况，即可得出结果.

（1）设二次函数的解析式为，

则，

由得恒成立，又，

所以，所以，所以；

（2）①由（1）可得:，对称轴，在区间上单调，

所以或，

当时，在区间上单调增，所以，即为的两个根，所以只要有小于等于2两个不相等的实根即可，

所以要满足，得

当时，在区间上单调减，所以，即

两式相减得，因为，所以，

所以，，得；

综上，的取值范围为

②设为的零点，则，即，得或，

当时，

所以所有零点为；

当时，

由得，

所以所有零点为。