Question

【题目】已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．

（1）求证：直线AB的斜率为定值；

（2）求面积的最大值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）。

【解析】

（1）先求出点，结合题意设直线MA的方程为，解方程组得到，同理得到，进而得到，为定值．（2）由（1）可设直线AB的方程为，与椭圆方程联立得到关于的方程，结合判别式可得．再由（1）可得点到直线AB的距离为，，

进而求得的面积，最后结合基本不等式可得所求．

（1）证明：由，解得．

∴．

∵过M作的两条直线斜率都存在，不防设直线MA的斜率为，且，

则直线MA的方程为，

由消去

，

∴，

∴．

同理得直线MB的方程为，可得．

∴，为定值．

（2）解：由（1）设直线AB的方程为，

由消去整理得，

∵直线AB与椭圆交于两点，

∴，

解得．

又点到直线AB的距离为，

=．

设的面积为S，

则，

当且仅当，即时等号成立．

∴面积的最大值为．