Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）证明CEAD，结合CEPD，即可证得平面。

（2）建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，由直线与直线所成角的余弦值为求得点F的坐标，再求出平面，平面的法向量，利用法向量夹角公式得解。

（1）平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，.

侧面是等边三角形且是的中点

又

平面

（2）如图，以为原点，以为轴正方向，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，

，，

点在棱上，设，

则，

直线与直线所成角的余弦值为.

又，解得：

即为的中点

，，

设平面的法向量为，则

令，则

设平面的法向量为，则

令，则

二面角的余弦值为.