Question

【题目】设，，函数.

（Ⅰ）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；

（Ⅱ）若对任意，都有成立，试求时，的值域；

（Ⅲ）设，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为

【解析】

（Ⅰ）根据，且，可知满足题意的条件为使函数与轴的两个交点横坐标，可得关于m的不等式组，解不等式组即可得m的取值范围；

（Ⅱ）根据可得对称轴，即可求得m的值。则二次函数在B集合内的值域即可求出；

（Ⅲ）对分类讨论，在的不同取值范围下讨论的单调性，即可求得在不同取值范围时的最小值。

（Ⅰ），因为，二次函数图象

开口向上，且恒成立，故图象始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个

交点横坐标，当且仅当

， 解得

（Ⅱ）对任意都有，所以图象关于直线对称

所以，得

所以为上减函数．

；．

故时，值域为．

（Ⅲ）令，则

（i）当时，，

当，则函数在上单调递减，

从而函数在上的最小值为．

若，则函数在上的最小值为，且．

（ii）当时，函数

若，则函数在上的最小值为，且

若，则函数在上单调递增，

从而函数在上的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为