【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠ABC=90°,,BC=1,
,∠ACD=60°,E为CD的中点.
(1)求证:BC∥平面PAE;
(2)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】(1)证明:∵AB=,BC=1,∠ABC=90°,
∴AC=2,∠BCA=60°.
在△ACD中,∵AD=2,AC=2,∠ACD=60°,
∴AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,
∴CD=4,∴AC2+AD2=CD2,∴△ACD是直角三角形,
又E为CD中点,∴AE=CD=CE,
∵∠ACD=60°,∴△ACE为等边三角形,
∴∠CAE=60°=∠BCA,∴BC∥AE,
又AE平面PAE,BC平面PAE,∴BC∥平面PAE.
(2)设点A到平面PCD的距离为d,根据题意可得,
PC=2,PD=CD=4,∴S△PCD=2
,
∵VP-ACD=VA-PCD,∴·S△ACD·PA=
·S△PCD·d,
∴×
×2×2
×2=
×2
d,∴d=
,
∴点A到平面PCD的距离为.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面 ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD ,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)线段AD上是否存在点,使得它到平面PCD的距离为
?若存在,求出
值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.
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【题目】已知直线与曲线
恰有两个不同的交点,记
的所有可能取值构成集合
,
是椭圆
上一动点,点
与点
关于直线
对称,记
的所有可能取值构成集合
,若随机从集合
中分别抽出一个元素
,则
的概率是___.
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【题目】已知平面α及直线a,b,则下列说法正确的是( )
A. 若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行
B. 若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直
C. 若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D. 若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直
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【题目】若函数同时满足:(1)对于定义域上的任意
,恒有
;(2)对于定义域上的任意
,
,当
时,恒有,
则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中:①
; ②
; ③
;④
,则被称为“理想数”的有________(填相应的序号).
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【题目】已知几何体,其中四边形
为直角梯形,四边形
为矩形,
,且
,
.
(1)试判断线段上是否存在一点
,使得
平面
,请说明理由;
(2)若,求该几何体的表面积.
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【题目】已知椭圆方程为,射线
与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
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