【题目】已知直线与曲线恰有两个不同的交点,记的所有可能取值构成集合,是椭圆上一动点,点与点关于直线对称,记的所有可能取值构成集合,若随机从集合中分别抽出一个元素,则的概率是___.
【答案】
【解析】
试题由,当x≥0时,显然k>0,两边平方得
,即
由题意,该方程有两个不相等的正实数根
即即结合k>0解得k∈(0,1),即A=(0,1)
对于椭圆,由于原点关于y=x+1的对称点为(-1,1)
所以,椭圆关于y=x+1的对称椭圆为,
在改椭圆上,可知y1-1∈[-4,4]
于是∈[-1,1],即B=[-1,1]
【方法一】由,分别以为横坐标和纵坐标,
可知点()构成一个面积为2的矩形
其中满足的是图中阴影部分,面积为
所以,满足的概率是
【方法二】当时,此事件发生的概率为,此时必有
当时,此事件发生的概率为,此时与概率相等,各占,于是此时满足的概率为.
以上两事件互斥,且[-1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足的概率为.
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【题目】已知椭圆过抛物线的焦点,,分别是椭圆的左、右焦点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与抛物线相切,且与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
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【题目】中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近,居全球首位。中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有“世界钨都”之称。某科研单位在研发的钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系为:当时, 是的二次函数;当时, .测得部分数据如表.
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式y=
(2)求函数的最大值
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【题目】已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线相交于不同的两点, ,与抛物线的准线相交于不同的两点, ,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点, ,且满足.证明直线过定点,并求出点的坐标.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠ABC=90°,,BC=1, ,∠ACD=60°,E为CD的中点.
(1)求证:BC∥平面PAE;
(2)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】已知命题α:函数的定义域是R;命题β:在R上定义运算:xy=x(1-y).不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x都成立.
(1)若α、β中有且只有一个真命题,求实数a的取值范围;
(2)若α、β中至少有一个真命题,求实数a的取值范围;
(3)若α、β中至多有一个真命题,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系,并证明你的结论.
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