【题目】已知命题α:函数的定义域是R;命题β:在R上定义运算:xy=x(1-y).不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x都成立.
(1)若α、β中有且只有一个真命题,求实数a的取值范围;
(2)若α、β中至少有一个真命题,求实数a的取值范围;
(3)若α、β中至多有一个真命题,求实数a的取值范围.
【答案】(1) (,0)∪[
,4);(2) (
,4);(3) (
∞,0)∪[
,+∞)
【解析】
分别求出命题α为真时和命题β为真时a的取值范围,再求:(1)若α为真、β为假时和α为假、β为真时对应a的取值范围,求并集即可;(2)求出α为假且β为假时a的取值范围,再求补集即可;(3)求出α为真且β为真时a的取值范围,再求补集即可.
函数的定义域是R,则ax2
ax+1>0恒成立,
a=0时,满足条件;
a≠0时,则,解得0<a<4;
所以命题α为真命题时,a∈[0,4);
又在R上定义运算:xy=x(1y),
不等式(xa)(x+a)<1可化为(x
a)(1
x
a)<1,
即x2x
a2+a+1>0对任意的x∈R都成立;
令△=14(
a2+a+1)<0,
解得<a<
,
所以命题β为真时a的取值范围是a∈(,
).
(1)若α为真、β为假时,有,即
≤a<4;
若α为假、β为真时,有,即
<a<0;
综上,实数a的取值范围是(,0)∪[
,4);
(2)若α为假且β为假时,有,即a≤
或a≥4;
所以α、β中至少有一个真命题时,实数a的取值范围是(,4);
(3)若α为真且β为真时,有,即0≤a<
;
所以α、β中至多有一个真命题时,实数a的取值范围是(∞,0)∪[
,+∞).
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的普通方程及曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点,点
,直线
过点
且与曲线
相交于
,
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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【题目】已知直线与曲线
恰有两个不同的交点,记
的所有可能取值构成集合
,
是椭圆
上一动点,点
与点
关于直线
对称,记
的所有可能取值构成集合
,若随机从集合
中分别抽出一个元素
,则
的概率是___.
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【题目】若函数同时满足:(1)对于定义域上的任意
,恒有
;(2)对于定义域上的任意
,
,当
时,恒有,
则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中:①
; ②
; ③
;④
,则被称为“理想数”的有________(填相应的序号).
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【题目】已知几何体,其中四边形
为直角梯形,四边形
为矩形,
,且
,
.
(1)试判断线段上是否存在一点
,使得
平面
,请说明理由;
(2)若,求该几何体的表面积.
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【题目】在棱长为1的正方体中,点
是对角线
上的动点(点
与
不重合),则下列结论正确的是____.
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③的面积不可能等于
;
④若分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
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