Question

【题目】已知函数.

(1)若函数有一个极小值点和一个极大值点，求的取值范围；

(2)设，若存在,使得当时， 的值域是,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，由函数有两个极值点，得到关于的不等式组，求得实数，再作出验算即可．

（2）求出的导数，通过讨论的范围确定函数的单调区间，得到关于的不等式，解出即可．

试题解析：

(1) ,则

令,若函数 有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，于是 解得

当时， 有两个不相等的正实根，设为,不妨设,

则.

当时， 在 上为减函数；

当时, 在上为增函数；

当时， 函数在上为减函数.

由此， 是函数的极小值点， 是函数的极大值点.符合题意.

综上，所求实数的取值范围是

（2）

①当时， .当时， 在上为减函数；

当时， 在上为增函数.

所以，当时， 的值域是.

不符合题意.

当时， .

(i)当,即时， , 当且仅当时取等号.

所以在上为减函数．从而在 上为减函数．符合题意

(ii)当,即时，当变化时， 的变化情况如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	减函数	极小值0	增函数	极大值	减函数

若满足题意，只需满足,且 (若，不符合题意),即,

且.又,所以,此时

所以实数的取值范围是