Question

【题目】为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为）中，采用分层抽样的方法抽取名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这名同学的数据，按照以下区间分为八组：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧

得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于分的人数为人.

（1）求的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；

（2）如果把“学生数学成绩不低于分”作为是否达标的标准，对抽取的名学生，完成下列列联表：

据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？

（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取人，记这人中成绩不低于分的学生人数为，求的分布列、数学期望和方差

附1：“列联表”的卡方统计量公式：

附2：卡方（）统计量的概率分布表：

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据小长方形面积等于对应区间概率以及频率等于频数除以总数列等式解得，根据高度等于频率除以组距计算.（2）根据分层抽样确定男女生人数，列列联表，根据卡方公式计算，再对照参考数据确定把握性，（3）可视为独立重复试验，先计算频率代替概率，再利用二项分布求分布列及数学期望、方差.

试题解析：（1）“成绩少于分”的频率

④的高度

（2）按照“男生”和“女生”分层抽样

在容量为的样本中，“男生”人数，“女生”人数

“达标”即“成绩不低于分”的频数

据此可填表如下：

据表可得卡方统计量

故有不足的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关

可以认为它们之间没有关联

（3）“成绩不低于分”的频率

因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意人的概率都可认为是

从而

则，

，

故的分布列为：

数学期望

方差