【题目】已知函数.
(1)若f (x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)若a=0,x0<1,设直线y=g(x)为函数f (x)的图象在x=x0处的切线,求证:f (x)≤g(x).
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数,通过
对
恒成立,推出
,即可求出
的范围;(2)利用
,化简
,通过函数
在
处的切线方程为
,讨论当
时,
;当
时,利用分析法证明;构造函数
,求出
,构造新函数
,利用公式的导数求解函数的最值,然后推出结论.
试题解析:(1)解 易知f ′(x)=-,
由已知得f ′(x)≥0对x∈(-∞,2)恒成立,
故x≤1-a对x∈(-∞,2)恒成立,∴1-a≥2,∴a≤-1.
即实数a的取值范围为(-∞,-1].
(2)证明 a=0,则f (x)=.
函数f (x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f (x0).
令h(x)=f (x)-g(x)=f (x)-f ′(x0)(x-x0)-f (x0),x∈R,
则h′(x)=f ′(x)-f ′(x0)=-
=
.
设φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,
则φ′(x)=-ex0-(1-x0)ex,∵x0<1,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在R上单调递减,而φ(x0)=0,
∴当x<x0时,φ(x)>0,当x>x0时,φ(x)<0,
∴当x<x0时,h′(x)>0,当x>x0时,h′(x)<0,
∴h(x)在区间(-∞,x0)上为增函数,在区间(x0,+∞)上为减函数,
∴x∈R时,h(x)≤h(x0)=0,
∴f (x)≤g(x).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若函数同时满足:(1)对于定义域上的任意
,恒有
;(2)对于定义域上的任意
,
,当
时,恒有,
则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中:①
; ②
; ③
;④
,则被称为“理想数”的有________(填相应的序号).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在棱长为1的正方体中,点
是对角线
上的动点(点
与
不重合),则下列结论正确的是____.
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③的面积不可能等于
;
④若分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为F,F关于原点的对称点为P,过F作
轴的垂线交抛物线于M,N两点,给出下列三个结论:
①必为直角三角形;
②直线必与抛物线相切;
③的面积为
.其中正确的结论是___.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆方程为,射线
与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点在抛物线
外,过点
作抛物线
的两切线,设两切点分别为
,
,记线段
的中点为
.
(Ⅰ)求切线,
的方程;
(Ⅱ)证明:线段的中点
在抛物线
上;
(Ⅲ)设点为圆
上的点,当
取最大值时,求点
的纵坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求
),每小时可获得利润是
元.
(1)要使生产该产品小时获得的利润不低于
元,求
的取值范围;
(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥中,
为等边三角形,且平面
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若棱锥的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】【试题分析】(I) 取的中点为
,连接
,
.利用等腰三角形的性质和矩形的性质可证得
,由此证得
平面
,故
,故
.(II) 可知
是棱锥的高,利用体积公式求得
,利用勾股定理和等腰三角形的性质求得
的值,进而求得面积.
【试题解析】
证明:(Ⅰ)取的中点为
,连接
,
,
∵为等边三角形,∴
.
底面中,可得四边形
为矩形,∴
,
∵,∴
平面
,
∵平面
,∴
.
又,所以
.
(Ⅱ)由面面
,
,
∴平面
,所以
为棱锥
的高,
由,知
,
,
∴.
由(Ⅰ)知,
,∴
.
.
由,可知
平面
,∴
,
因此.
在中
,
,
取的中点
,连结
,则
,
,
∴
.
所以棱锥的侧面积为
.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知圆经过椭圆
:
的两个焦点和两个顶点,点
,
,
是椭圆
上的两点,它们在
轴两侧,且
的平分线在
轴上,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:直线过定点.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com