Question

【题目】如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.

（Ⅰ）求切线，的方程；

（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；

（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.

（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.

（Ⅰ）切线的方程为，即，

同理可得，切线的方程为.

（另解：设切线的方程为：

由消去后可得：

∴

∴切线的方程为，即，

同理可得，切线的方程为.

（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，

由（1）可得，，故，.

又点的坐标为.

所以点的纵坐标为，

即点的坐标为.故在抛物线上.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，

，所以 .

设，则.

当时，即当时，取最大值.