Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为正三角形，M是棱PC上的一点(异于端点)．

(1)若M为PC的中点，求证：PA∥平面BME；

(2)是否存在点M，使二面角MBED的大小为30°.若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）连接AC交BE于点F，根据平几知识可得ABCE为平行四边形，即得MF∥PA. 再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据空间直角坐标系，再设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系列方程解得M坐标，即得点M的位置．

试题解析：(1)证明：如图，连接AC交BE于点F，连接CE.

由题意知BC∥AE，且BC＝AE，故四边形ABCE为平行四边形，∴F为AC的中点，在△PAC中，又由M为PC的中点，得MF∥PA.

又MF平面BME，PA平面BME，∴PA∥平面BME.

(2)连接PE，则由题意知PE⊥平面ABCD.

故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系E－xyz，则

E(0,0,0)，P(0,0，)，

B(，0,0)，C(，－1,0)．

设＝λ＝(0<λ<1)，

则M(λ，－λ， (1－λ))．

∴＝(λ，－λ， (1－λ))，＝(，0,0)．

取平面DBE的法向量n1＝(0,0,1)，设平面BME的法向量n2＝(x，y，z)，

则由

得令y＝，得n2＝.

又由＝cos30°，得λ＝，

即M.故存在点M满足要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．