Question

【题目】已知函数f (x)＝ln x＋x2－ax(a为常数).

(1)若x＝1是函数f (x)的一个极值点，求a的值；

(2)当0＜a≤2时，试判断f (x)的单调性；

(3)若对任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f (x0)＞mln a 恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）求出,由列方程即可求的值；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；；（3）问题等价于：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，利用导数研究函数的单调性，根单调性求出的最小值，进而可得结果.

试题解析：　f ′(x)＝＋2x－a.

(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a＝0，所以a＝3，经验证符合题意.

(2)当0＜a≤2时，f ′(x)＝＋2x－a＝

＝.

因为0＜a≤2，所以1－＞0，而x＞0，

即f ′(x)＝＞0，

故f (x)在(0，＋∞)上是增函数.

(3)当a∈(1，2)时，由(2)知，f (x)在[1，2]上的最小值为f (1)＝1－a，

故问题等价于：对任意的a∈(1，2)，

不等式1－a＞mln a恒成立，即m＜恒成立.

记g(a)＝ (1＜a＜2)，则g′(a)＝.

令M(a)＝－aln a－1＋a，则M′(a)＝－ln a＜0，

所以M(a)在(1，2)上单调递减，

所以M(a)＜M(1)＝0，故g′(a)＜0，

所以g(a)＝在a∈(1，2)上单调递减，

所以m≤g(2)＝＝－log2e，

即实数m的取值范围为(－∞，－log2e].