Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数在内的单调性；

（Ⅱ）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时， 在内单调递增，当时， 在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求导数可得， ，根据的取值情况进行讨论可得函数的单调性．（Ⅱ）在（Ⅰ）中结论的基础上分和两种情况讨论求解，首先探求得到区间，通过对函数在此区间上单调性的讨论进一步得到的符号，进而将不等式去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可．

试题解析

（Ⅰ）由题意得， ，

因为，所以．

当时， ，此时在内单调递增．

当时，由得，此时 单调递减；

由得，此时 单调递增．

综上，当时， 在内单调递增；

当时， 在内单调递减，在内单调递增.

（Ⅱ）①当时，

由（Ⅰ）可得在内单调递增，且，

所以对于任意的， .

这时可化为，即.

设，

则，

令，得，

所以在单调递减，且，

所以当时， ，不符合题意．

②当时，

由（Ⅰ）可得在内单调递减，且，

所以存在，使得对于任意的都有.

这时可化为，即.

设，则.

（i）若，则在上恒成立，

这时在内单调递减，且，

所以对于任意的都有，不符合题意.

（ii）若，令，得，

这时在内单调递增，且，

所以对于任意的，都有，

此时取，则对于任意的，不等式恒成立.

综上可得的取值范围为.