Question

5．如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF
（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；
（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{EB}$和平面DAB的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EB}$＞|即为所求．

解答 证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF?平面DEF，DE∩DF=D，
∴AB⊥平面DEF，
又∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE=$\frac{1}{2}AC$=2．
∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=$\frac{1}{2}AC=2$．
以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（0，-2，0），D（0，0，2），B（$\sqrt{3}$，-1，0）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，-2，-2），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-2），$\overrightarrow{EB}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）．
设平面DAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}-2y-2z=0\\ \sqrt{3}x-y-2z=0\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}$=2，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，|$\overrightarrow{EB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EB}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．