Question

8．已知f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$x^k（n∈N^*）．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x⁴项的系数；
（2）证明：C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$．

Answer 1

分析 （1）利用f_n（x）=（1+x）ⁿ，即可求出g（x）中含x⁴项的系数；
（2）令h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n•（1+x）^m+n，利用错位相减法，即可证明结论．

解答 （1）解：f_n（x）=$\sum_{k=0}^{n}$C${\;}_{n}^{k}$x^k（n∈N^*）=${C}_{n}^{0}$•x⁰+${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+${C}_{n}^{n}$•xⁿ=（1+x）ⁿ，
g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x）=（1+x）⁴+2（1+x）⁵+3（1+x）⁶，
故g（x）中含x⁴项的系数为${C}_{4}^{4}$+2${C}_{5}^{4}$+3${C}_{6}^{4}$=56．
（2）证明：∵C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=${C}_{m+1}^{m+1}$+2${C}_{m+2}^{m+1}$+3${C}_{m+3}^{m+1}$+…+n${C}_{m+n}^{m+1}$，
令h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2+3（1+x）^m+3+…+n•（1+x）^m+n． 
则函数h（x）中含x^m+1项的系数为 C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+n${C}_{m+n}^{m+1}$，…（5分）
同乘1+x，由错位相减法得：-xh（x）=（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+（1+x）^m+3+…+（1+x）^m+n-n•（1+x）^m+n+1=$\frac{（1+x）^{m+1}[1-（1+x）^{n}]}{1-（1+x）}$-n•（1+x）^m+n+1，
∴x²h（x）=（1+x）^m+1-（1+x）^m+n+1+n•（1+x）^m+n+1，
h（x）中含x^m+1项的系数，即是等式左边含x^m+3项的系数，等式右边含x^m+3项的系数为-${C}_{m+n+1}^{m+3}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$，…（7分）
-${C}_{m+n+1}^{m+3}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=-$\frac{（m+n+1）!}{（m+3）!（n-2）!}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=-$\frac{n-1}{m+3}$${C}_{m+n+1}^{m+2}$+n${C}_{m+n+1}^{m+2}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$，
所以C${\;}_{m+1}^{0}$+2C${\;}_{m+2}^{1}$+3C${\;}_{m+3}^{2}$+…+nC${\;}_{m+n}^{n-1}$=[$\frac{（m+2）n+1}{m+3}$]C${\;}_{m+n+1}^{m+2}$．     …（10分）

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．