Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其离心率与双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的离心率互为倒数，而直线x+y=$\sqrt{3}$过椭圆C的一个焦点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T，设圆T与椭圆C交于两点M，N，求$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}$的最小值，并求出此时圆T的方程．

Answer 1

分析 （I）求得双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，运用离心率公式和直线与x轴的交点，可得c，进而得到a，b，即可得到椭圆方程；
（II）由对称性，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨设y₁＞0，M的坐标代入椭圆方程，由T（-2，0），求得向量TM，TN的坐标，可得数量积，化简整理，运用二次函数的最值求法，可得最小值，及M的坐标，圆的半径，进而得到圆的方程．

解答 解：（I）双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的离心率为$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
由离心率互为倒数，可得椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
因为a²=b²+c²，所以a=2b．
又椭圆的焦点在x轴上，由题意知其中一个焦点即为直线$x+y=\sqrt{3}$与x轴的交点，
所以$c=\sqrt{3}$，即a²-b²=3，从而a=2，b=1，
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）因为点M，N关于x轴对称，
所以设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），
不妨设y₁＞0，由于M在椭圆上，所以$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{4}$．
由（I）知椭圆的左顶点T的坐标为 T（-2，0），
所以$\overrightarrow{{T}{M}}=（{{x_1}+2，{y_1}}）$，$\overrightarrow{{T}{N}}=（{{x_1}+2，-{y_1}}）$，$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}={（{{x_1}+2}）^2}-y_1^2={（{{x_1}+2}）^2}-（{1-\frac{x_1^2}{4}}）=\frac{5}{4}{（{{x_1}+\frac{8}{5}}）^2}-\frac{1}{5}$．
因为-2≤x₁≤2，所以当${x_1}=-\frac{8}{5}$ 时，$\overrightarrow{{T}{M}}•\overrightarrow{{T}{N}}$有最小值$-\frac{1}{5}$．
此时由$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{4}$，解得${M}（{-\frac{8}{5}，\frac{3}{5}}）$，
又点M在圆T上，所以${r^2}={|{{M}{T}}|^2}=\frac{13}{25}$，
所以圆T的方程是：${（{x+2}）^2}+{y^2}=\frac{13}{25}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用双曲线的离心率和直线与x轴的交点，考查向量的数量积的坐标表示，以及二次函数的最值的求法，以及圆方程的求法，属于中档题．