Question

18．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点F（c，0）的直线l与C相交于A、B两点，l交y轴于E点，C的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．当直线l斜率为1时，点（0，b）到l的距离为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若M（t，0）满足：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）直线l的方程为：y=x-c，点（0，b）到l的距离为$\sqrt{2}$，可得$\frac{|0-b-c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，即b+c=2，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．联立解出即可得出．
（II）F（1，0），可设直线l的方程为：y=k（x-1），E（0，-k），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
利用根与系数的关系、数量积运算性质及其$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，可得：t=$\frac{2+2{k}^{4}}{1-2{k}^{2}}$，令2k²-1=m∈（-1，0）∪（0，+∞），则t=$\frac{1}{2}（\frac{5}{m}+m+2）$=f（m），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（I）直线l的方程为：y=x-c，点（0，b）到l的距离为$\sqrt{2}$，∴$\frac{|0-b-c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，化为b+c=2，
又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²．联立解得：b=c=1，a²=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）F（1，0），可设直线l的方程为：y=k（x-1），E（0，-k），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{ME}$，
∴（x₁-t，y₁）•（x₂-t，y₂）=（1-t，0）•（-t，-k），
化为：x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂=t²-t，
∴x₁x₂-t（x₁+x₂）+k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-t，
即（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t=0，
∴（1+k²）$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（t+k²）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+t=0，k²≠$\frac{1}{2}$．
化为：t=$\frac{2+2{k}^{4}}{1-2{k}^{2}}$，
令2k²-1=m∈（-1，0）∪（0，+∞），则t=$\frac{2+\frac{1}{2}（1+m）^{2}}{m}$=$\frac{1}{2}（\frac{5}{m}+m+2）$=f（m），
f′（m）=$\frac{1}{2}（1-\frac{5}{{m}^{2}}）$=$\frac{（m+\sqrt{5}）（m-\sqrt{5}）}{2{m}^{2}}$，
∴f（m）分别在m∈（-1，0），m∈（0，$\sqrt{5}$）单调递减；在$（\sqrt{5}，+∞）$上单调递增．
∴f（m）∈（-∞，-1）∪$[\sqrt{5}+1，+∞）$．
∴实数t的取值范围是（-∞，-1）∪$[\sqrt{5}+1，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．