Question

7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，G为三角形的重心，且满足$\sqrt{3}$（a$\overrightarrow{GA}$+b$\overrightarrow{GB}$）+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，则角C=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 可画出图形，根据重心性质及向量加法平行四边形法则，以及向量加法、减法和数乘的几何意义、向量数乘的运算便可得出$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，从而带入$\sqrt{3}（a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}）+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$并整理可得$（\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}）\overrightarrow{AB}-（\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}）\overrightarrow{AC}$=$\frac{c}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2c}{3}\overrightarrow{AC}$．从而根据平面向量基本定理可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{c}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=\frac{2c}{3}}\end{array}\right.$，两式联立即可得到$a=b，c=\sqrt{3}a$，从而求出$cosC=-\frac{1}{2}$，这样便可得出角C的大小．

解答 解：如图，根据题意：

$\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=-\frac{1}{3}（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{GC}=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=-\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）$，
代入$\sqrt{3}（a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}）+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$整理得：
$（\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}）\overrightarrow{AB}-（\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}）\overrightarrow{AC}$=$\frac{c}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2c}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{3}b}{3}-\frac{\sqrt{3}a}{3}=\frac{c}{3}}&{①}\\{\frac{\sqrt{3}a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=\frac{2c}{3}}&{②}\end{array}\right.$；
①×2-②并整理得a=b，∴$c=\sqrt{3}a$；
∴$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$；
又0°＜C＜180°；
∴C=120°．
故选D．

点评 考查三角形重心的概念及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理，余弦定理，已知三角函数值求角．