Question

17．设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；
（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m成立，只需4m-2m²＞f_min（x），解出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当x＜-2时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x+x+2=-x+3，f（x）＞3，即-x+3＞3，解得x＜0，
又x＜-2，∴x＜-2；
当$-2≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x-x-2=-3x-1，f（x）＞3，即-3x-1＞3，解得$x＜-\frac{4}{3}$，又$-2≤x≤\frac{1}{2}$，∴$-2≤x＜-\frac{4}{3}$；
当$x＞\frac{1}{2}$时，f（x）=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3，f（x）＞3，即x-3＞3，解得x＞6，又$x＞\frac{1}{2}$，∴x＞6．
综上，不等式f（x）＞3的解集为$（{-∞，\;\;-\frac{4}{3}}）∪（6，\;\;+∞）$．
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x＜-2}\\{-3x-1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{2}$．
∵?x₀∈R，使得$f（{x_0}）＜4m-2{m^2}$，
∴$4m-2{m^2}＞-\frac{5}{2}$，
整理得4m²-8m-5＜0，
解得$-\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}$．
因此实数m的取值范围是$（{-\frac{1}{2}，\;\;\frac{5}{2}}）$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法及分段函数的应用，分情况讨论去绝对值符号是关键，属于中档题．