Question

2．已知圆O：x²+y²=1的切线l与椭圆C：x²+3y²=4相交于A、B、两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：x²+3y²=4即为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，
可得a=2，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．
在x²+3y²=4中，令x=1得y=±1．
不妨设A（1，1），B（1，-1），则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-1=0．可得OA⊥OB；
同理，当l：x=-1时，也有OA⊥OB．
若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即k²+1=m²．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0．显然△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）•$\frac{3{m}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$+km（-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$）+m²
=$\frac{（1+{k}^{2}）（3{m}^{2}-4）-6{k}^{2}{m}^{2}+（1+3{k}^{2}）{m}^{2}}{1+3{k}^{2}}$
=$\frac{4{m}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）-4-4{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0．
所以OA⊥OB．
综上所述，总有OA⊥OB成立．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．