Question

7．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的四个顶点构成一个面积为$2\sqrt{3}$的四边形，该四边形的一个内角为60°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E相交于A，B两个不同的点，线段AB的中点为C，O为坐标原点，若△OAB面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求|OC|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}b}\\{2×\frac{1}{2}×2a×b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a，b，即可得出．
（II）（1）当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，则x₁=x₂，y₁=-y₂，由A（x₁，y₁）在椭圆上，则$\frac{{{x_1}^2}}{3}+{y_1}^2=1$，而$S=|{x_1}{y_1}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解出即可得出|OC|．
（2）当l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，与椭圆方程联立可得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，由△＞0，得m²＜3k²+1，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理为（3k²+1）²-4m²（3k²+1）+4m⁴=0，利用中点坐标公式可得C，再利用两点之间的距离公式及其二次函数的单调性即可得出|OC|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}b}\\{2×\frac{1}{2}×2a×b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）（1）当l的斜率不存在时，A，B两点关于x轴对称，则x₁=x₂，y₁=-y₂，
由A（x₁，y₁）在椭圆上，则$\frac{{{x_1}^2}}{3}+{y_1}^2=1$，而$S=|{x_1}{y_1}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得$|{x_1}|=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可知$C（±\frac{{\sqrt{6}}}{2}，0）$，∴$|OC|=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
（2）当l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$消去y得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
由△=12（3k²-m²+1）＞0，得m²＜3k²+1，
则${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$，（*）
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$•\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3{k}^{2}-{m}^{2}+1}}{3{k}^{2}+1}$，
原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△OAB的面积$S=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{3{k^2}-{m^2}+1}}}{{3{k^2}+1}}•\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
整理得4m²（3k²+1-m²）=（3k²+1）²，即（3k²+1）²-4m²（3k²+1）+4m⁴=0，
∴（3k²+1-2m²）²=0，即2m²=3k²+1，满足△=12（3k²-m²+1）＞0，
可知2m²≥1，
结合（*）得${x_1}+{x_2}=\frac{-3k}{m}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{{-3{k^2}}}{m}+2m=\frac{{-（2{m^2}-1）}}{m}+2m=\frac{1}{m}$，
则C$（-\frac{3k}{2m}，\frac{1}{2m}）$，∴$|OC{|^2}=\frac{{9{k^2}+1}}{{4{m^2}}}=\frac{{3（2{m^2}-1）+1}}{{4{m^2}}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2{m^2}}}$，
由于2m²≥1，则$|OC{|^2}≥\frac{1}{2}$，当且仅当2m²=1，即k=0时，等号成立，故$|OC|≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
综上所述，|OC|的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形与矩形面积计算公式、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．