Question

6．在三棱锥P-SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．
（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；
（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知及勾股定理可证BC⊥SB，结合已知PA⊥BC，可证BC⊥平面PSB，从而可证平面PSB⊥平面ABCD；
（2）可证BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．

解答 证明：（1）∵A，D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，
∴AD∥BC且AD=4，
∵AB=SA=3，CD=SD=5，
∴SA²+AD²=SD²，
∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，
∴BC⊥SB，…（3分）
∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB?平面PSB
∴BC⊥平面PSB，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PSB⊥平面ABCD； …（7分）
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
所以l∥BC． …（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．