Question

14．环保部门对5家造纸厂进行排污检查，若检查不合格，则必须整改，整改后经复查仍然不合格的，则关闭．设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的，且每家造纸厂检查前合格的概率是$\frac{1}{2}$，整改后检查合格的概率是$\frac{4}{5}$，求：
（Ⅰ）恰好有两家造纸厂必须整改的概率；
（Ⅱ）至少要关闭一家造纸厂的概率；
（Ⅲ）平均多少家造纸厂需要整改？（其中（$\frac{9}{10}$）⁵≈$\frac{59}{100}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．代入n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，即可得到答案；
（Ⅱ）要至少关闭一家煤矿的概率．则表示该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到结论；
（Ⅲ）由题意，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5），我们计算出ξ的数学期望，根据数学期望易得到平均有多少家煤矿必须整改．

解答 解：（Ⅰ）每家造纸厂必须整改的概率是1-0.5，
且每家造纸厂是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家造纸厂必须整改的概率是
P₁=${C}_{5}^{2}$×（1-0.5）²×0.5³=$\frac{5}{16}$=0.31．
（Ⅱ）某造纸厂被关闭，
即该造纸厂第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该造纸厂被关闭的概率是
P₂=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，
从而该造纸厂不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家造纸厂是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家造纸厂的概率是：
P₃=1-0.9⁵=0.41；
（Ⅲ）由题设，必须整改的造纸厂数ξ服从二项分布B（5，0.5）．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家造纸厂必须整改．

点评 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．