Question

19．若点M是以椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆于P，Q两点，椭圆的右焦点为F₂，则△PQF₂的周长是4．

Answer 1

分析 方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，结合直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，可得周长；
方法二、设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用椭圆的焦半径公式和勾股定理，化简整理即可得到所求周长．

解答 解：根据题意作出图形如图所示，
方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
有△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48（3+4{k}^{2}-{m}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$．
由直线PQ与圆x²+y²=3相切，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即|m|=$\sqrt{3（1+{k}^{2}）}$，
可得|PQ|=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，
由|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{2}-2）^{2}}$，0＜x₁＜2，
可得|PF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₁，同理|QF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
则|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=4-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4+$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=4，
因此，△PF₂Q的周长是定值4．
方法二：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{2}-2）^{2}}$，0＜x₁＜2，
可得|PF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₁，同理|QF₂|=2-$\frac{1}{2}$x₂，
又M是圆O的切点，连接OP，OM，
则|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-3}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+3（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）-3}$=$\frac{1}{2}$x₁，
可得|PF₂|+|PM|=2-$\frac{1}{2}$x₁+$\frac{1}{2}$x₁=2，
同理|QF₂|+|QM|=3，
则|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=2+2=4，
因此，△PF₂Q的周长是定值4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．