Question

15．在钝角△ABC中，已知sin²A+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），从而可求A的值，又sinB•cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$），由题意可得sin（2B+$\frac{π}{3}$）=1，解得B=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B的值．

解答 解：∵sin²A+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$sin2A=1，可得：$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$sin2A=1，整理可得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A-cos2A=1，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）=1，可得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）=1，
∴解得：sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），可得：2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，从而解得解得：A=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$（由题意舍去），
∴sinB•cosC=sinBcos（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB（-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2B-$\frac{1}{4}$sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$），
∴当sin（2B+$\frac{π}{3}$）=1时，sinB•cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2B+$\frac{π}{3}$）取得最小值，此时，2B+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴解得：B=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{12}$．
故答案为：$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．