Question

6．已知函数f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），则下列说法不正确的是（　　）

• A． 直线x=$\frac{5}{12}$π是函数f（x）的图象的一条对称轴
• B． 函数f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上单调递减
• C． 函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位可得到y=cos2x的图象
• D． 函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为-1

Answer 1

分析 利用两角和的余弦化简，由题意求得φ，然后利用余弦函数的性质逐一核对四个选项得答案．

解答 解：∵f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ=cos（2x+φ）的图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），
∴cos（$2×\frac{π}{6}+$φ）=0，则$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，
∴φ=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
则f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵f（$\frac{5π}{12}$）=cos（2×$\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}$）=cosπ=-1，∴直线x=$\frac{5}{12}$π是函数f（x）的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$]，∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上单调递减，故B正确；
函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=cos[2（x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（2x$-\frac{π}{6}$）的图象，故C错误；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为cosπ=-1，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了余弦型函数的图象和性质，是中档题．