Question

2．利用数学归纳法证明不等式“1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n≥2，n∈N^*）”的过程中，由“n=k”变到“n=k+1”时，左边增加的项数有（　　）

• A． 1项
• B． 2^k-1项
• C． 2^k项
• D． 2^k+1项

Answer 1

分析 依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$与n=k时不等式的左边比较即可得到答案

解答 解：用数学归纳法证明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
则当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$，共（2^k+1-1）-2^k+1=2^k项，
故选：C．

点评 本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．